奇妙な空間に隠れているフィボナッチ数

McDuff と Schlenk は、シンプレクティックな楕円体 (細長い塊) をボールの中に収めるにはどうすればよいかを考えていました。 埋め込み問題として知られるこの種の問題は、形状がまったく曲がらないユークリッド幾何学では非常に簡単です。 また、ジオメトリの他のサブフィールドでは、ボリュームが変わらない限り形状を好きなだけ曲げることができます。

シンプレクティック ジオメトリはより複雑です。 ここで、答えは楕円体の「離心率」に依存します。 偏心率の高い細長い形状は、蛇がとぐろを巻くように、よりコンパクトな形状に簡単に折りたたむことができます。 偏心率が低い場合、物事はそれほど単純ではありません。

マクダフとシュレンクス 2012 紙 さまざまな楕円体に適合する最小のボールの半径を計算しました。 彼らの解決策は、フィボナッチ数列 (次の数が常に前の 2 つの合計になる数列) に基づく無限の階段に似ていました。

McDuff と Schlenk が結果を発表した後、数学者は不思議に思っていました: 楕円体を 4 次元立方体のような球以外のものに埋め込んでみたらどうなるでしょうか? さらに無限の階段が現れるでしょうか？

フラクタルサプライズ

研究者がここにいくつかの無限の階段を発見し、さらにいくつかの無限の階段を発見したため、結果は少しずつ出てきました。 その後、2019 年に女性数学者協会が 1 週間にわたって ワークショップ シンプレクティック幾何学で。 イベントでは、ホルムと彼女の協力者 アナ・リタ・ピレス マクダフを含むワーキンググループをまとめ、 モーガン・ワイラー、カリフォルニア大学バークレー校を卒業したばかりの博士号。 彼らは楕円体を、無限に多くの化身を持つ一種の形状に埋め込むことに着手し、最終的に無限に多くの階段を生成できるようにしました。

グループが研究した形状を視覚化するために、シンプレクティック形状は動くオブジェクトのシステムを表していることを思い出してください。 オブジェクトの物理状態は位置と速度の 2 つの量を使用するため、シンプレクティック シェイプは常に偶数の変数によって記述されます。 つまり、それらは偶数次元です。 2 次元の形状は固定された経路に沿って移動する 1 つのオブジェクトのみを表すため、4 次元以上の形状は数学者にとって最も興味深いものです。

しかし、4 次元形状を視覚化することは不可能であり、数学者のツールキットを大幅に制限しています。 部分的な解決策として、研究者は、形状に関する少なくともいくつかの情報をキャプチャする 2 次元の図を描くことができる場合があります。 これらの 2D 画像を作成するルールの下では、4 次元のボールは直角三角形になります。

Holm と Pires のグループが分析した形状は、Hirzebruch 面と呼ばれます。 各 Hirzebruch 曲面は、この直角三角形の上隅を切り落とすことによって得られます。 数、 b、切り落とした量を測定します。 いつ b 0 です。何もカットしていません。 1 の場合、三角形のほぼ全体が消去されています。

当初、グループの努力が実を結ぶ可能性は低いように思われました。 「私たちは 1 週間かけて作業しましたが、何も見つかりませんでした」と、現在コーネル大学のポスドクである Weiler 氏は述べています。 2020 年の初めまで、彼らはまだ大きな前進を遂げていませんでした。 マクダフは、彼らが書く論文のタイトルについて、ホルムの提案の 1 つを思い出しました。