何世紀もの間、数学者は 流体の動きを理解し、モデル化しようとしてきました。 波紋が池の表面にどのように折り目を付けるかを表す方程式は、研究者が天気を予測したり、より優れた飛行機を設計したり、血液が循環系をどのように流れるかを特徴付けたりするのにも役立ちました. これらの方程式は、適切な数学言語で書かれていると、一見単純です。 しかし、それらのソリューションは非常に複雑であるため、それらに関する基本的な質問を理解することさえ非常に困難です。
おそらく、250 年以上前にレオンハルト オイラーによって定式化された、これらの方程式の中で最も古く、最も顕著なものは、理想的な非圧縮性流体の流れを記述しています。この流体は、粘性や内部摩擦がなく、より小さな体積に強制することはできません。 「ほぼすべての非線形流体方程式は、オイラー方程式から派生したものです。 タレク・エルギンディ、デューク大学の数学者。 「彼らは最初のものです、あなたは言うことができます。」
しかし、オイラー方程式が常に理想的な流体の流れの正確なモデルであるかどうかなど、オイラー方程式については不明な点が多く残されています。 流体力学の中心的な問題の 1 つは、方程式が失敗して無意味な値が出力され、流体の将来の状態を予測できなくなるかどうかを判断することです。
数学者は、方程式が崩れる初期条件が存在することを長い間疑っていました。 しかし、彼らはそれを証明できていません。
の プレプリント 10 月にオンラインで投稿された 2 人の数学者が、特定のバージョンのオイラー方程式が実際に時々失敗することを示しました。 この証明は大きなブレークスルーを示しており、方程式のより一般的なバージョンの問題を完全に解決するわけではありませんが、そのような解決策が最終的に手の届くところにあるという希望を与えてくれます。 「驚くべき結果だ」と語った トリスタン・バックマスター、仕事に関与していないメリーランド大学の数学者。 「文献にはその種の結果はありません。」
キャッチは1つだけです。
10 年にわたる研究プログラムの成果である 177 ページの校正刷りは、コンピューターを大いに活用しています。 これは間違いなく、他の数学者がそれを検証することを困難にします. （実際、彼らはまだそうしている途中ですが、多くの専門家は新しい研究が正しいことが判明すると信じています.このような重要な問題を今後解決する唯一の実行可能な方法は、コンピューターの助けを借りることです。
野獣の目撃
原則として、流体内の各粒子の位置と速度がわかっている場合、オイラー方程式は流体が常にどのように変化するかを予測できるはずです。 しかし、数学者は、それが実際に当てはまるかどうかを知りたがっています。 おそらく、状況によっては、方程式が期待どおりに進み、特定の瞬間の流体の状態の正確な値が生成されますが、それらの値の 1 つだけが突然無限大に急上昇します。 その時点で、オイラー方程式は「特異点」を引き起こすと言われています。さらに劇的には、「爆破」することもあります。
特異点に達すると、方程式は流体の流れを計算できなくなります。 しかし、「数年前の時点で、人々ができることは、 [proving blowup]、” 言った チャーリー・フェファーマン、プリンストン大学の数学者。
粘性を持つ流体をモデル化しようとすると、さらに複雑になります (ほとんどすべての実世界の流体がそうであるように)。 粘土数学研究所からの百万ドルのミレニアム賞は、粘性を説明するオイラー方程式の一般化であるナビエストークス方程式で同様の失敗が発生するかどうかを証明できる人を待っています。