数学者は、数論の最も基本的なオブジェクトである素数に非常によく似ているこれらの数をよりよく理解したいと考えていました。 カーマイケルの結果より 10 年前の 1899 年に、別の数学者、アルウィン・コーセルトが同等の定義を思いついたことが判明しました。 彼は、法案に適合する数字があるかどうかを単に知りませんでした.
コーセルトの基準によると、数 N は、3 つのプロパティを満たす場合にのみ、カーマイケル数です。 まず、複数の素因数が必要です。 第二に、素因数は繰り返すことができません。 そして 3 番目に、素数ごとに p それが割る N、 p – 1 も割る N – 1. 数 561 をもう一度考えてみましょう。これは 3 × 11 × 17 に等しいので、Korselt のリストの最初の 2 つの特性を明確に満たしています。 最後の性質を示すには、各素因数から 1 を引いて 2、10、16 を求めます。さらに、561 から 1 を引きます。3 つの小さい数はすべて 560 の約数です。したがって、数 561 はカーマイケル数です。
数学者はカーマイケル数が無数にあると考えていましたが、素数に比べて数が少なく、特定が困難でした。 そして1994年、レッド・アルフォード、 アンドリュー・グランヴィル、 と カール・ポメランス ブレークスルーを公開しました 論文 その中で、彼らは最終的に、これらの擬素数が実際に無限に多く存在することを証明しました。
残念ながら、彼らが開発した手法では、カーマイケル数がどのように見えるかについて何も言えませんでした。 それらは数直線に沿ってクラスターとして現れ、間に大きなギャップがありましたか? それとも、短い間隔で常にカーマイケル数を見つけることができますか? 「それらが無数にあることを証明できれば、それらの間に大きなギャップがなく、それらが比較的十分に離れていることを証明できるはずです」とグランビルは言いました。
特に、彼と彼の共著者は、この考えを反映した声明を証明することを望んでいました。 バツ、間には常にカーマイケル数があります バツ そして2バツ. 関連研究を行ってきた防衛分析研究所の数学者、ジョン・グランサム氏は、「これは、それらがいかに遍在しているかを表現するもう 1 つの方法です」と述べています。
しかし、何十年もの間、誰もそれを証明できませんでした。 Alford、Granville、および Pomerance によって開発された手法により、「多くの Carmichael 数が存在することを示すことができました」と Pomerance 氏は述べています。 」
その後、2021 年 11 月、グランビルは、当時 17 歳で高校 3 年生だったラーセンからのメールを開きました。 あ 論文 が添付されていましたが、Granville が驚いたことに、正しく表示されていました。 「これまでで最も読みやすいものではありませんでした」と彼は言いました。 「しかし、私がそれを読んだとき、彼がいじっていないことは明らかでした. 彼は素晴らしいアイデアを持っていました。」
この作品の後のバージョンを読んだポメランスは同意した。 「彼の証明は非常に進んでいます」と彼は言いました。 「どんな数学者も書いたことを本当に誇りに思う論文になるでしょう。 そして、これを書いているのは高校生です。」