秋に 2017年の、 メーターブ・ソーニー当時マサチューセッツ工科大学の学部生だった彼は、一学期にわたって 1 つの論文を研究する大学院読書グループに参加しました。 しかし、学期の終わりまでに、彼らは証明の複雑さに当惑しながら、次のステップに進むことに決めたとソーニーは回想する。 「本当にすごかったです」と彼は言った。 「それは完全にそこにあるように見えました。」
その論文は ピーター・キーバシュ オックスフォード大学の。 その主題は、デザインと呼ばれる数学的オブジェクトです。
デザインの研究は 1850 年に遡ります。当時、イングランド北部の教区の牧師であり、数学にも手を出していたトーマス・カークマンが、「ザ・マガジン」という雑誌で、一見簡単そうな問題を提起しました。 紳士淑女の日記。 15 人の女子生徒が 1 週間毎日 3 列に並んで学校に通っているとします。 手配してもらえますか それでは、その 7 日間で、2 人の女の子が同じ列に 2 回以上並ぶことはないのでしょうか?
間もなく、数学者たちはカークマンの質問のより一般的なバージョンを尋ねるようになりました。 n セット内の要素 (女子生徒 15 人) を常にサイズのグループに分類できますか k (3 列) より小さいサイズのセットごとに t (すべての女の子のペアが) それらのグループのいずれかに正確に表示されますか?
このような構成は (n、 k、 t) の設計は、それ以来、誤り訂正コードの開発、実験の設計、ソフトウェアのテスト、スポーツの枠や宝くじの当選などに使用されてきました。
しかし、それらはまた、構築することが非常に困難になるため、 k と t 大きくなる。 実際、数学者はまだ次の値を持つ設計を見つけていません。 t したがって、2014 年に Keevash が 示した たとえそのようなデザインを構築する方法を知らなくても、 彼らは常に存在します、限り n は十分に大きく、いくつかの簡単な条件を満たします。
さて、キーヴァシュ、ソーニー、そして アシュウィン・サーMITの大学院生である彼は、部分空間設計と呼ばれるさらにとらえどころのない物体が、 いつも同じように存在する。 「彼らは、存在がまったく明らかではない物体の存在を証明した」と述べた。 デビッド・コンロン、カリフォルニア工科大学の数学者。
そのためには、Kevash の元のアプローチ (ランダム性と慎重な構築を魔法のように組み合わせたもの) を改良し、より制限的な設定で動作させる必要がありました。 そして、現在 MIT で博士号の取得を目指しているソーニーは、ほんの数年前に彼を躓かせていた論文と向き合うことになった。 「テクニックを完全に理解し、真剣に悩み、取り組み、開発するのは本当に楽しかったです」と彼は言いました。
イラスト: メリル・シャーマン/Quanta Magazine
「想像を超えるもの」
何十年もの間、数学者は設計の問題などの集合と部分集合に関する問題を、いわゆるベクトル空間と部分空間に関する問題に変換してきました。
ベクトル空間は特別な種類のセットであり、その要素 (ベクトル) は、単純な点の集合よりもはるかに厳密な方法で相互に関連付けられます。 点はあなたがどこにいるかを示します。 ベクトルは、どのくらいの距離とどの方向に移動したかを示します。 加算したり減算したり、大きくしたり小さくしたりすることができます。