ここでの目標は、三角形が 2 つの要件を満たすように、これらの線の上に三角形をトレースすることです。まず、2 つの三角形がエッジを共有しないことです。 (この要件を満たすシステムは、シュタイナー トリプル システムと呼ばれます。) 次に、三角形のすべての小さなサブセットが十分な数のノードを使用するようにします。
研究者がこれを行った方法は、おそらく類推することで最もよく理解できます。
エッジから三角形を作る代わりに、レゴ ブロックから家を建てているとしましょう。 あなたが作る最初のいくつかの建物は、構造的な補強と精巧な装飾を備えた豪華なものです。 これらの作業が完了したら、脇に置きます。 それらは、一種の構造化された備蓄である「吸収体」として機能します。
あまり計画を立てずに、残りのレンガから建物を作り始めましょう。 レゴの供給が減ると、レンガがばらばらになったり、家が構造的に不安定になったりすることがあります。 しかし、アブソーバーの建物はやり過ぎで強化されているため、あちこちでレンガを摘み取って、大惨事を招くことなくそれらを使用できます.
シュタイナー トリプル システムの場合、三角形を作成しようとしています。 この場合のアブソーバーは、慎重に選択されたエッジの集まりです。 システムの残りの部分を三角形に分類できない場合は、アブソーバーにつながるエッジの一部を使用できます。 それが終わったら、アブソーバー自体を三角形に分解します。
吸収は常に機能するとは限りません。 しかし、数学者はこのプロセスをいじくり回し、障害を回避する新しい方法を見つけました。 たとえば、反復吸収と呼ばれる強力なバリアントは、エッジをネストされた一連のセットに分割し、それぞれが次の最大の吸収として機能するようにします。
「過去 10 年ほどの間に、大幅な改善がありました」と Conlon 氏は言います。 「これは一種の芸術形式ですが、彼らはこの時点でそれを高度な芸術のレベルにまで引き上げました。」
Erdős の問題は、反復吸収を使用しても扱いにくいものでした。 「この問題が解決されなかった理由はすぐに明らかになりました。 メータブ・ソーニー、それを解決した 4 人の研究者の 1 人、 アシュウィン・サー、ソーニーのように、マサチューセッツ工科大学の大学院生です。 マイケル・シムキンハーバード大学数理科学応用センターのポスドク研究員。 と マシュー・クワン、オーストリア科学技術研究所の数学者。 「非常に興味深く、非常に難しい技術的なタスクがありました。」
たとえば、反復吸収の他のアプリケーションでは、集合 (シュタイナー三重系の場合は三角形、または他の問題の場合は他の構造) をカバーし終えたら、それを処理したと見なして忘れることができます。 しかし、エルデシュの条件により、4 人の数学者はそれを行うことができませんでした。 問題のある三角形のクラスターには、複数の吸収セットからのノードが簡単に含まれる可能性があります。
「500 歩前に選択した三角形。その考え方をどうにかして覚えておく必要があります」と Sawhney 氏は言います。
4 人が最終的に理解したのは、三角形を慎重に選択すれば、すべての小さなことを追跡する必要を回避できるということでした。 Sawhney 氏は、「100 個の三角形の小さなセットについて考え、正しい確率で三角形のセットが選択されることを保証することをお勧めします」と述べています。
新しい論文の著者は、自分たちの技術がこの 1 つの問題を超えて拡張できると楽観的です。 彼らは持っている すでに戦略を適用している についての問題に ラテン方格、数独パズルの単純化のようなものです。
それを超えて、最終的に吸収方法につながる可能性のあるいくつかの問題があるとKwan氏は述べています. 「組合せ論、特に設計理論では非常に多くの問題があり、ランダムなプロセスは非常に強力なツールです。」 そのような問題の 1 つである Ryser-Brualdi-Stein 予想も、ラテン方陣に関するものであり、1960 年代から解決を待っていました。
その問題を解決するには、吸収をさらに発展させる必要があるかもしれませんが、それはその始まりから長い道のりを歩んできました、と彼は言いました マヤ・スタイン、チリ大学の数学モデリングセンターの副所長。 「これらの方法がどのように進化するかを見るのは本当に素晴らしいことです。」
オリジナルストーリー の許可を得て転載 クォンタマガジン、 の編集上独立した出版物 シモンズ財団 その使命は、数学、物理科学、生命科学の研究開発と傾向をカバーすることにより、科学に対する一般の理解を高めることです。