一つ 幾何学における最も古くて最も単純な問題が、数学者の不意を突いたのは初めてではありません。
古代から、芸術家や幾何学者は、どうすれば形状が平面全体を隙間や重なりなく並べられるのか疑問に思っていました。 それでも、「かなり最近になるまで、あまり知られていませんでした」と彼は言いました。 アレックス・イオセビッチ、ロチェスター大学の数学者。
最も明白なタイリングの繰り返し: 正方形、三角形、または六角形のコピーで床を覆うのは簡単です。 1960 年代に、数学者は平面を完全に覆うことができる奇妙なタイルのセットを発見しましたが、決して繰り返されることはありませんでした。
「あなたはそのようなタイルの構造を理解したいのです」と言いました。 レイチェル・グリーンフェルド、ニュージャージー州プリンストンの高等研究所の数学者。 「彼らはどこまで夢中になれるの？」
かなりクレイジーです。
最初のこのような繰り返しのない、または非周期的なパターンは、20,426 の異なるタイルのセットに依存していました。 数学者は、その数を減らすことができるかどうかを知りたがっていました。 1970 年代半ばまでに、ロジャー ペンローズ (後に 2020 年のノーベル物理学賞を受賞する ブラック ホールに関する研究) は、「カイト」と「ダーツ」と呼ばれる 2 つのタイルの単純なセットで十分であることを証明しました。
繰り返さないパターンを思いつくのは難しくありません。 多くの繰り返しまたは周期的なタイリングを微調整して、繰り返しのないタイリングを形成できます。 たとえば、チェス盤のように並べられた正方形の無限のグリッドを考えてみましょう。 各行をシフトして、その上の行とは異なる量だけオフセットすると、スタンプのようにカット アンド ペーストして完全なタイリングを再作成できる領域を見つけることができなくなります。
本当の秘訣は、ペンローズのタイルのように、平面全体をカバーできるタイルのセットを見つけることですが、繰り返さない方法でのみです。
イラスト：メリル・シャーマン/Quanta Magazine
ペンローズの 2 枚のタイルは疑問を投げかけました: 法案に適合する巧妙な形のタイルが 1 枚あるのではないでしょうか?
驚いたことに、タイルの移動、回転、反転が許可されていて、タイルが切断されている場合、つまりギャップがある場合、答えはイエスです。 これらのギャップは、他の適切に回転し、適切に反射されたタイルのコピーによって埋められ、最終的に 2 次元平面全体をカバーします。 しかし、この形状を回転させることが許可されていない場合、隙間を残さずに平面を並べることは不可能です。
それはそう、 何年か前、数学者 シッダールタ バタチャリヤ どんなに複雑で繊細なタイル デザインを思いついたとしても、1 つのタイルのシフトまたは平行移動しか使用できない場合、平面全体を非周期的にカバーできるタイルを考案することは不可能であることが証明されましたが、定期的ではありません。